Analisando o Gráfico de e suas Assímptotas

Comece sua investigação examinando o gráfico de .

> plot(1/x,x=-4..4,y=-6..6);

Baseado no gráfico, descreva o que acontece ao valor de y quando x .

a) Torna-se muito grande (aumenta sem limite)?

R: y aproxima-se de 0.

b) Torna-se muito pequeno (decresce sem limite)?

R: y aproxima-se de 0.

Lá existe qualquer valor de x cujo gráfico aproxima-se da assímptota vertical? Se existe, qual é o valor?

R: x = 0.

Escreva a equação, se ela existir, na:

a) Assímptota vertical

R: x = 0 .

b) Assímptota horizontal

R: y = 0 .

Analisando o Gráfico de e suas Assímptotas

Examine o gráfico de .

> plot(1/(x-3),x=-2..6,y=-4..4);

Baseado no gráfico, descreva o que acontece ao valor de y quanto x :

a) Torna-se muito grande (cresce sem limite)?

R: y aproxima-se de 0.

b) Torna-se muito pequeno (decresce sem limite)?

R: y aproxima-se de 0.

Lá existe qualquer valor de y cujo aproxima-se da assímptota horizontal? Se existir, determine o valor.

R: y = 0 .

Baseado no gráfico, descreva o que acontece ao valor de y quanto x :

a) Aproxima-se de 3 da direita (direção positiva)?

R: y aumenta sem limite (aproxima-se do + ).

b) Aproxima-se de 3 da esquerda (direção negativa)?

R: y diminui sem limite (aproxima-se do - ).

Examine a tabela de valores e observe o que acontece ao valor de y quando x aproxima-se de 3.

(2.9000) = -9.9999999999999911

(2.9105) = -11.176470588235286

(2.9211) = -12.666666666666663

(2.9316) = -14.615384615384617
(2.9421) = -17.272727272727284
(2.9526) = -21.111111111111143
(2.9632) = -27.142857142857221

(2.9737) = -38.000000000000206

(2.9842) = -63.333333333334025

(2.9947) = -190.00000000000742
(3.0053) = 190.00000000000742
(3.0158) = 63.333333333334025
(3.0263) = 38.000000000000206

(3.0368) = 27.142857142857221
(3.0474) = 21.111111111111143
(3.0579) = 17.272727272727284

(3.0684) = 14.615384615384617

(3.0789) = 12.666666666666663

(3.0895) = 11.176470588235286

(3.1000) = 9.9999999999999911

Baseado na tabela, descreva o que aparece para o valor de y em torno de x = 3 .

R: Para a esquerda de x = 3 , y aproxima-se de - e para a direita de x = 3 , y aproxima-se de .

Compare o domínio da função definida por com esta assímptota vertical.

R: O domínio contém números reais exceto x = 3.

Descreva como você deve determinar a assímptota vertical analisando a equação de .

R: Estabeleça denominador igual a zero e resolva.

Usando um gráfico e uma tabela de valores para cada uma das hipérboles abaixo, analise as assímptotas horizontal e vertical.

> plot(2/(x-4),x=-1..8,y=-5..5);

(3.9000) = -19.999999999999982

(3.9105) = -22.352941176470573

(3.9211) = -25.333333333333325

(3.9316) = -29.230769230769234
(3.9421) = -34.545454545454568
(3.9526) = -42.222222222221895
(3.9632) = -54.285714285713787

(3.9737) = -75.999999999999119

(3.9842) = -126.6666666666645

(3.9947) = -379.99999999998278
(4.0053) = 380.00000000001484
(4.0158) = 126.66666666667162
(4.0263) = 76.0000000000004126

(4.0368) = 54.285714285715102
(4.0474) = 42.222222222222285
(4.0579) = 34.545454545454838

(4.0684) = 29.230769230769234

(4.0789) = 25.333333333333467

(4.0895) = 22.352941176470573

(4.1000) = 20.000000000000071

Identifique a assímptota horizontal e vertical.

R: horizontal: y = 0
vertical: x = 4.

> plot(1/(x+5),x=-7..-2,y=-5..5);

(-4.9000) = -10.000000000000036

(-4.9105) = -11.176470588235286

(-4.9211) = -12.666666666666734

(-4.9316) = -14.615384615384617
(-4.9421) = -17.272727272727419
(-4.9526) = -21.111111111111143
(-4.9632) = -27.142857142857551

(-4.9737) = -38.000000000000206

(-4.9842) = -63.333333333332249

(-4.9947) = -190.00000000000742
(-5.0053) = 190.00000000000742
(-5.0158) = 63.333333333332249
(-5.0263) = 38.000000000000206

(-5.0368) = 27.142857142857551
(-5.0474) = 21.111111111111143
(-5.0579) = 17.272727272727419

(-5.0684) = 14.615384615384617

(-5.0789) = 12.666666666666734

(-5.0895) = 11.176470588235286

(-5.1000) = 10.000000000000036

Identifique a assímptota horizontal e vertical.

R: horizontal: y = 0
vertical: x = -5.

Em geral, dada uma equação da forma , onde a e k são constantes, preveja as equações das assímptotas vertical e horizontal.

R: horizontal: y = 0
vertical: x = -a.

Analisando os Gráficos de e : Assímptotas e Interceptores

O gráfico da hipérbole é apresentado abaixo:

> with(plots):

> implicitplot(x^2/16-(y^2/9)-1 ,x=-15..15,y=-10..10);

Indique onde essa hipérbole tem x ou y interceptado e registre as coordenadas.

R: x interceptado esta posicionado em (- 4, 0) e (4, 0).

Descreva como os valores dos interceptados relatam a equação da hipérbole.

R: A raiz quadrada positiva e negativa de são 4 e - 4.

Observe abaixo a linha de gráficos de e adicionada ao gráfico da hipérbole.

> with(plots):

> implicitplot({x^2/16-(y^2/9)-1,y-3*x/4,y+3*x/4},x=-15..15,y=-10..10);

Descreva qual papel tem no gráfico.

R: é uma assímptota.

Descreva qual papel tem no gráfico.

R: é uma assímptota.

Faça uma conjectura baseada na conexão entre as inclinações de e , os números contidos na equação original, e as assímptotas.
R: As inclinações das assímptotas de uma hipérbole com x interceptado são e .

Considere os gráficos das hipérboles e suas assímptotas em a) e b) abaixo.

a)

> with(plots):

> implicitplot({y^2/4-(x^2/9)-1,y-2*x/3,y+2*x/3},x=-6..6,y=-6..6);

b)

> with(plots):

> implicitplot({x^2/25-(y^2/9)-1,y-3*x/5,y+3*x/5},x=-15..15,y=-10..10);

Faça uma conjectura baseada na conexão entre as inclinações das assímptotas de uma hipérbola da forma ou , os valores de e , os interceptados, e sua colocação abaixo de "x" ou "y" na equação original.

R: As inclinações das assímptotas de uma hipérbole com cada ou y interceptado são encontradas realizando um raio de raiz quadrada do número abaixo do termo y e a raiz quadrada do número abaixo do termo x .

Aprofundando seus Conhecimentos

Determine a equação de uma hipérbole com eixos interceptado posicionado em (- 3,0) e (3,0) e assímptotas e .

R: .

Determine as últimas três equações das hipérboles com uma assímptota horizontal de y = 0 e assímptotas vertical de x = 3 e x = - 3 .

R:

Crie uma equação de uma hipérbole com interceptados posicionados em (0,-1) e (0,3) e com inclinações assímptotas de e .

R: .

Crie uma equação de uma hipérbole com x interceptado em -4 e 4 e inclinação assímptota em -2 e 2 .

R: